मान लीजिए f(x) = intlimits_0^{x^2} {(t - 1)(t | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9

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$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$.अवकलन के लिए लेबनीज़ नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$.$f'(x) = 2x(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.क्रांतिक बिंदु $x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं,जो कुल $7$ भिन्न बिंदु हैं।$f'(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f''(x)$ एक सम फलन है और $f'''(x)$ एक विषम फलन है।चूंकि $f'(x)$ $7$ घात का बहुपद है,इसलिए $f'''(x)$ $5$ घात का बहुपद है।चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $x = 0$,$f'''(x) = 0$ का एक मूल है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$f'(x)$ के किन्हीं दो मूलों के बीच $f''(x)$ का कम से कम एक मूल होता है। चूंकि $f'(x)$ के $7$ मूल हैं,इसलिए $f''(x)$ के $6$ मूल होंगे।इसी प्रकार,$f'''(x)$ के $5$ मूल होंगे। चूंकि $f'''(x)$ एक विषम फलन है और $x=0$ एक मूल है,शेष $4$ मूल मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होंगे,अर्थात $2$ धनात्मक और $2$ ऋणात्मक मूल।अतः,$f'''(x) = 0$ के $2$ भिन्न धनात्मक हल हैं।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

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दिया गया है कि $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,यदि $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ है,तो $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

यदि $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ सभी $x \in R - \{0\}$ के लिए सत्य है,तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^a x(2ax - x^2)^{3/2} dx = $

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

यदि $f(x) = \int_{9x^2}^{x^4} 5^{\sqrt{t}} dt$ है,तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3 - h)}{h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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